Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (x-log(uno +x)-x^ dos /(uno +x))/x^ dos
- (x menos logaritmo de (1 más x) menos x al cuadrado dividir por (1 más x)) dividir por x al cuadrado
- (x menos logaritmo de (uno más x) menos x en el grado dos dividir por (uno más x)) dividir por x en el grado dos
- (x-log(1+x)-x2/(1+x))/x2
- x-log1+x-x2/1+x/x2
- (x-log(1+x)-x²/(1+x))/x²
- (x-log(1+x)-x en el grado 2/(1+x))/x en el grado 2
- x-log1+x-x^2/1+x/x^2
- (x-log(1+x)-x^2 dividir por (1+x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (x+log(1+x)-x^2/(1+x))/x^2
- (x-log(1+x)+x^2/(1+x))/x^2
- (x-log(1-x)-x^2/(1+x))/x^2
- (x-log(1+x)-x^2/(1-x))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(x))/log(x)
- log(sin(x)/x)
- log(cos(4*x))/log(cos(5*x))
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(1+5*x)/sin(3*x)
Límite de la función (x-log(1+x)-x^2/(1+x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x |
|x - log(1 + x) - -----|
| 1 + x|
lim |----------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right)$$
Limit((x - log(1 + x) - x^2/(1 + x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \log{\left(x + 1 \right)} + x - \log{\left(x + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} + x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + \left(x + 1\right) \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \log{\left(x + 1 \right)} + x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x}{x + 1} - \log{\left(x + 1 \right)} + 1 - \frac{1}{x + 1}}{3 x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x}{x + 1} - \log{\left(x + 1 \right)} + 1 - \frac{1}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{2}{x + 1}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{2}{x + 1}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \log{\left(x + 1 \right)} + x - \log{\left(x + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} + x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + \left(x + 1\right) \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \log{\left(x + 1 \right)} + x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x}{x + 1} - \log{\left(x + 1 \right)} + 1 - \frac{1}{x + 1}}{3 x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x}{x + 1} - \log{\left(x + 1 \right)} + 1 - \frac{1}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{2}{x + 1}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{2}{x + 1}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x |
|x - log(1 + x) - -----|
| 1 + x|
lim |----------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
/ 2 \
| x |
|x - log(1 + x) - -----|
| 1 + x|
lim |----------------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
= -0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x + 1} + \left(x - \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo