Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)!^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(2 x + 1\right)! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)!^{2}}{\left(2 x + 1\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)!^{2}}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{\Gamma\left(2 x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{\Gamma\left(2 x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)