Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- (x/(tres +x))^(dos +x)
- (x dividir por (3 más x)) en el grado (2 más x)
- (x dividir por (tres más x)) en el grado (dos más x)
- (x/(3+x))(2+x)
- x/3+x2+x
- x/3+x^2+x
- (x dividir por (3+x))^(2+x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(3+x))^(2-x)
- (x/(3-x))^(2+x)
Límite de la función (x/(3+x))^(2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + x
/ x \
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
Limit((x/(3 + x))^(2 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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