Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno - uno /(tres +x))^x
- (1 menos 1 dividir por (3 más x)) en el grado x
- (uno menos uno dividir por (tres más x)) en el grado x
- (1-1/(3+x))x
- 1-1/3+xx
- 1-1/3+x^x
- (1-1 dividir por (3+x))^x
-
Expresiones semejantes
- (1-1/(3-x))^x
- (1+1/(3+x))^x
Límite de la función (1-1/(3+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ 1 \
lim |1 - -----|
x->oo\ 3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x}$$
Limit((1 - 1/(3 + x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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