Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + 1\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{x}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right)^{x} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right)^{x} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)