Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- seis + tres ^(- uno /x^ dos)*x^ tres
- 6 más 3 en el grado ( menos 1 dividir por x al cuadrado ) multiplicar por x al cubo
- seis más tres en el grado ( menos uno dividir por x en el grado dos) multiplicar por x en el grado tres
- 6+3(-1/x2)*x3
- 6+3-1/x2*x3
- 6+3^(-1/x²)*x³
- 6+3 en el grado (-1/x en el grado 2)*x en el grado 3
- 6+3^(-1/x^2)x^3
- 6+3(-1/x2)x3
- 6+3-1/x2x3
- 6+3^-1/x^2x^3
- 6+3^(-1 dividir por x^2)*x^3
-
Expresiones semejantes
- 6-3^(-1/x^2)*x^3
- 6+3^(1/x^2)*x^3
Límite de la función 6+3^(-1/x^2)*x^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ -1 \
| --- |
| 2 |
| x 3|
lim \6 + 3 *x /
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right)$$
Limit(6 + 3^(-1/x^2)*x^3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} 3^{- \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{6 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} + x^{3}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{- \frac{1}{x^{2}}} \left(6 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} + x^{3}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3^{- \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{6 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} + x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- \frac{1}{x^{2}}} \left(72 \cdot 3^{\frac{2}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} x^{3} \log{\left(3 \right)} + 2 x^{6} \log{\left(3 \right)}\right)}{x^{3} \left(\frac{12 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)}}{x^{3}} - 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- \frac{1}{x^{2}}} \left(72 \cdot 3^{\frac{2}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} x^{3} \log{\left(3 \right)} + 2 x^{6} \log{\left(3 \right)}\right)}{x^{3} \left(\frac{12 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)}}{x^{3}} - 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$6$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} 3^{- \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{6 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} + x^{3}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{- \frac{1}{x^{2}}} \left(6 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} + x^{3}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3^{- \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{6 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} + x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- \frac{1}{x^{2}}} \left(72 \cdot 3^{\frac{2}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} x^{3} \log{\left(3 \right)} + 2 x^{6} \log{\left(3 \right)}\right)}{x^{3} \left(\frac{12 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)}}{x^{3}} - 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- \frac{1}{x^{2}}} \left(72 \cdot 3^{\frac{2}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} x^{3} \log{\left(3 \right)} + 2 x^{6} \log{\left(3 \right)}\right)}{x^{3} \left(\frac{12 \cdot 3^{\frac{1}{x^{2}}} \log{\left(3 \right)}}{x^{3}} - 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$6$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ -1 \
| --- |
| 2 |
| x 3|
lim \6 + 3 *x /
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right)$$
6
$$6$$
= 6
/ -1 \
| --- |
| 2 |
| x 3|
lim \6 + 3 *x /
x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right)$$
6
$$6$$
= 6
= 6
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = 6$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = \frac{19}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = \frac{19}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = \frac{19}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = \frac{19}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 + 3^{- \frac{1}{x^{2}}} x^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo