Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (sqrt(2-x)-sqrt(6+x))/(-6+x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- x*(cinco +x)/(cinco + tres *x)
- x multiplicar por (5 más x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)
- x multiplicar por (cinco más x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)
- x(5+x)/(5+3x)
- x5+x/5+3x
- x*(5+x) dividir por (5+3*x)
-
Expresiones semejantes
- x*(5-x)/(5+3*x)
- x*(5+x)/(5-3*x)
Límite de la función x*(5+x)/(5+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/x*(5 + x)\ lim |---------| x->oo\ 5 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
Limit((x*(5 + x))/(5 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u + 1}{5 u^{2} + 3 u}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 5 + 1}{0 \cdot 3 + 5 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u + 1}{5 u^{2} + 3 u}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 5 + 1}{0 \cdot 3 + 5 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 5\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 5\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 5\right)}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo