Límite de la función 3^(-x)*x^4

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{4} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 3^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{- x} x^{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{4}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cdot 3^{- x} x^{3}}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{4 x^{3}}{\log{\left(3 \right)}}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 \cdot 3^{- x} x^{2}}{\log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{12 x^{2}}{\log{\left(3 \right)}^{2}}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{24 x}{\log{\left(3 \right)}^{3}}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 \cdot 3^{- x}}{\log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 \cdot 3^{- x}}{\log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)