Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (cinco +x^ dos)/(- cinco +x)^ dos
- (5 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 5 más x) al cuadrado
- (cinco más x en el grado dos) dividir por ( menos cinco más x) en el grado dos
- (5+x2)/(-5+x)2
- 5+x2/-5+x2
- (5+x²)/(-5+x)²
- (5+x en el grado 2)/(-5+x) en el grado 2
- 5+x^2/-5+x^2
- (5+x^2) dividir por (-5+x)^2
-
Expresiones semejantes
- (5-x^2)/(-5+x)^2
- (5+x^2)/(5+x)^2
- (5+x^2)/(-5-x)^2
Límite de la función (5+x^2)/(-5+x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 5 + x |
lim |---------|
x->oo| 2|
\(-5 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$
Limit((5 + x^2)/(-5 + x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{10}{x} + \frac{25}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{10}{x} + \frac{25}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 1}{25 u^{2} - 10 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{- 0 + 25 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{10}{x} + \frac{25}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{1 - \frac{10}{x} + \frac{25}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 1}{25 u^{2} - 10 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{- 0 + 25 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 10 x + 25\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 10 x + 25\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 10}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 10 x + 25\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 10 x + 25\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 10}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo