Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (- nueve +x^ dos)/(doce +x^ dos + siete *x)
- ( menos 9 más x al cuadrado ) dividir por (12 más x al cuadrado más 7 multiplicar por x)
- ( menos nueve más x en el grado dos) dividir por (doce más x en el grado dos más siete multiplicar por x)
- (-9+x2)/(12+x2+7*x)
- -9+x2/12+x2+7*x
- (-9+x²)/(12+x²+7*x)
- (-9+x en el grado 2)/(12+x en el grado 2+7*x)
- (-9+x^2)/(12+x^2+7x)
- (-9+x2)/(12+x2+7x)
- -9+x2/12+x2+7x
- -9+x^2/12+x^2+7x
- (-9+x^2) dividir por (12+x^2+7*x)
-
Expresiones semejantes
- (-9+x^2)/(12+x^2-7*x)
- (9+x^2)/(12+x^2+7*x)
- (-9-x^2)/(12+x^2+7*x)
- (-9+x^2)/(12-x^2+7*x)
Límite de la función (-9+x^2)/(12+x^2+7*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -9 + x |
lim |-------------|
x->oo| 2 |
\12 + x + 7*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
Limit((-9 + x^2)/(12 + x^2 + 7*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 9 u^{2}}{12 u^{2} + 7 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 9 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 7 + 12 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 9 u^{2}}{12 u^{2} + 7 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 9 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 7 + 12 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 7 x + 12\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 7 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 7 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 7 x + 12\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 7 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 7 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -9 + x |
lim |-------------|
x->-3+| 2 |
\12 + x + 7*x/
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
-6
$$-6$$
= -6.0
/ 2 \
| -9 + x |
lim |-------------|
x->-3-| 2 |
\12 + x + 7*x/
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right)$$
-6
$$-6$$
= -6.0
= -6.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = -6$$
Más detalles con x→-3 a la izquierda
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = -6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-3 a la izquierda
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = -6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = - \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{7 x + \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico