Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+3/x)^(-x)
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (tres + dos *x)^ dos /(uno +x)^ dos
- (3 más 2 multiplicar por x) al cuadrado dividir por (1 más x) al cuadrado
- (tres más dos multiplicar por x) en el grado dos dividir por (uno más x) en el grado dos
- (3+2*x)2/(1+x)2
- 3+2*x2/1+x2
- (3+2*x)²/(1+x)²
- (3+2*x) en el grado 2/(1+x) en el grado 2
- (3+2x)^2/(1+x)^2
- (3+2x)2/(1+x)2
- 3+2x2/1+x2
- 3+2x^2/1+x^2
- (3+2*x)^2 dividir por (1+x)^2
-
Expresiones semejantes
- (3+2*x)^2/(1-x)^2
- (3-2*x)^2/(1+x)^2
Límite de la función (3+2*x)^2/(1+x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|(3 + 2*x) |
lim |----------|
x->oo| 2 |
\ (1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit((3 + 2*x)^2/(1 + x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{12}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{12}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 12 u + 4}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{9 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 12 + 4}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{12}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{12}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 12 u + 4}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{9 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 12 + 4}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 12 x + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 12 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 12}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 12}{2 x + 2}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 12 x + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 12 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 12}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 12}{2 x + 2}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{25}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{25}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{25}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{25}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo