Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} - x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{\left(5 - x^{2}\right) \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{5 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{5 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)