Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/(dos +x))^((uno +x)^ dos)
- ((1 más x) dividir por (2 más x)) en el grado ((1 más x) al cuadrado )
- ((uno más x) dividir por (dos más x)) en el grado ((uno más x) en el grado dos)
- ((1+x)/(2+x))((1+x)2)
- 1+x/2+x1+x2
- ((1+x)/(2+x))^((1+x)²)
- ((1+x)/(2+x)) en el grado ((1+x) en el grado 2)
- 1+x/2+x^1+x^2
- ((1+x) dividir por (2+x))^((1+x)^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1-x)/(2+x))^((1+x)^2)
- ((1+x)/(2+x))^((1-x)^2)
- ((1+x)/(2-x))^((1+x)^2)
Límite de la función ((1+x)/(2+x))^((1+x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\(1 + x) /
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
Limit(((1 + x)/(2 + x))^((1 + x)^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}} = e^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}} = e^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{\left(x + 1\right)^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo