Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((- dos +n^ tres)/(uno +n^ tres))^(tres +n^ dos)
- (( menos 2 más n al cubo ) dividir por (1 más n al cubo )) en el grado (3 más n al cuadrado )
- (( menos dos más n en el grado tres) dividir por (uno más n en el grado tres)) en el grado (tres más n en el grado dos)
- ((-2+n3)/(1+n3))(3+n2)
- -2+n3/1+n33+n2
- ((-2+n³)/(1+n³))^(3+n²)
- ((-2+n en el grado 3)/(1+n en el grado 3)) en el grado (3+n en el grado 2)
- -2+n^3/1+n^3^3+n^2
- ((-2+n^3) dividir por (1+n^3))^(3+n^2)
-
Expresiones semejantes
- ((-2+n^3)/(1+n^3))^(3-n^2)
- ((2+n^3)/(1+n^3))^(3+n^2)
- ((-2-n^3)/(1+n^3))^(3+n^2)
- ((-2+n^3)/(1-n^3))^(3+n^2)
Límite de la función ((-2+n^3)/(1+n^3))^(3+n^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
3 + n
/ 3\
|-2 + n |
lim |-------|
n->oo| 3|
\ 1 + n /
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
Limit(((-2 + n^3)/(1 + n^3))^(3 + n^2), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n^{3} + 1\right) - 3}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{3}{n^{3} + 1} + \frac{n^{3} + 1}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n^{3} + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}} = e^{\frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = 1$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n^{3} + 1\right) - 3}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{3}{n^{3} + 1} + \frac{n^{3} + 1}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n^{3} + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}} = e^{\frac{\left(- 3 u - 1\right)^{\frac{2}{3}} - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = -8$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = -8$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = -8$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = -8$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n^{3} - 2}{n^{3} + 1}\right)^{n^{2} + 3} = 1$$
Más detalles con n→-oo