Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(-1+x)-sqrt(7-x))/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(dos +x))^(uno /x-x)
- (x dividir por (2 más x)) en el grado (1 dividir por x menos x)
- (x dividir por (dos más x)) en el grado (uno dividir por x menos x)
- (x/(2+x))(1/x-x)
- x/2+x1/x-x
- x/2+x^1/x-x
- (x dividir por (2+x))^(1 dividir por x-x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(2-x))^(1/x-x)
- (x/(2+x))^(1/x+x)
Límite de la función (x/(2+x))^(1/x-x)
Solución
Ha introducido
[src]
1
- - x
x
/ x \
lim |-----|
x->oo\2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
Limit((x/(2 + x))^(1/x - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + 2 + \frac{1}{- 2 u - 2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}} = e^{\frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + 2 + \frac{1}{- 2 u - 2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}} = e^{\frac{2 u + \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2 u - 2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{- x + \frac{1}{x}} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo