Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 8 x - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x - 9}{x^{4} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8 x - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 8}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{6 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{6 x^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)