Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(160000 \left(\frac{5}{4}\right)^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{160000 \left(\frac{5}{4}\right)^{x}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{160000 \left(\frac{5}{4}\right)^{x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 160000 \left(\frac{5}{4}\right)^{x}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{5}{4}\right)^{x} \left(- 320000 \log{\left(2 \right)} + 160000 \log{\left(5 \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{5}{4}\right)^{x} \left(- 320000 \log{\left(2 \right)} + 160000 \log{\left(5 \right)}\right)\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)