Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{2}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\frac{1}{x}} 2 x + \left(e^{\frac{2}{x}} x + x\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(e^{\frac{2}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} + 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{\frac{2}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{4}{x}} - 4 e^{\frac{3}{x}} + 6 e^{\frac{2}{x}} - 4 e^{\frac{1}{x}} + 1}{\frac{2 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{4}{x}} - 4 e^{\frac{3}{x}} + 6 e^{\frac{2}{x}} - 4 e^{\frac{1}{x}} + 1}{\frac{2 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)