Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x + 1} + \sqrt{x^{2} + x + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x^{2} - x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{x^{2} - x + 1} + \sqrt{x^{2} + x + 1}}{x \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{x^{2} - x + 1} + \sqrt{x^{2} + x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}}{2 x - 1}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)