$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right)$$
Limit(-2*x^2 + x*y^2 + (4*x)*y, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite $$\lim_{x \to \infty}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right)$$ Dividimos el numerador y el denominador por x^2: $$\lim_{x \to \infty}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{y^{2}}{x} + \frac{4 y}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}\right)$$ Hacemos El Cambio $$u = \frac{1}{x}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{y^{2}}{x} + \frac{4 y}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u y^{2} + 4 u y - 2}{u^{2}}\right)$$ = $$\frac{0 y^{2} + 0 \cdot 4 y - 2}{0} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es: $$\lim_{x \to \infty}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = -\infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^-}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = 0$$ Más detalles con x→0 a la izquierda $$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = 0$$ Más detalles con x→0 a la derecha $$\lim_{x \to 1^-}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = y^{2} + 4 y - 2$$ Más detalles con x→1 a la izquierda $$\lim_{x \to 1^+}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = y^{2} + 4 y - 2$$ Más detalles con x→1 a la derecha $$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x y + \left(- 2 x^{2} + x y^{2}\right)\right) = -\infty$$ Más detalles con x→-oo