Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(- uno +x))^x
- (x dividir por ( menos 1 más x)) en el grado x
- (x dividir por ( menos uno más x)) en el grado x
- (x/(-1+x))x
- x/-1+xx
- x/-1+x^x
- (x dividir por (-1+x))^x
-
Expresiones semejantes
- (x/(-1-x))^x
- (x/(1+x))^x
Límite de la función (x/(-1+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ x \
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
Limit((x/(-1 + x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = e$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico