Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} 5^{- 2 x - 3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5^{- 2 x - 3}}{3 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5^{- 2 x - 3}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5^{- 2 x} \log{\left(5 \right)}}{375 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5^{- 2 x} \log{\left(5 \right)}}{375 x}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)