Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-7+2*x^2+21*x)/(9+2*x^2+18*x))^(1+2*x)
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Límite de (2-cos(3*x))^(1/log(1+x^2))
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/(cinco +x))^(-x/ tres)
- ((1 más x) dividir por (5 más x)) en el grado ( menos x dividir por 3)
- ((uno más x) dividir por (cinco más x)) en el grado ( menos x dividir por tres)
- ((1+x)/(5+x))(-x/3)
- 1+x/5+x-x/3
- 1+x/5+x^-x/3
- ((1+x) dividir por (5+x))^(-x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x)/(5+x))^(x/3)
- ((1+x)/(5-x))^(-x/3)
- ((1-x)/(5+x))^(-x/3)
Límite de la función ((1+x)/(5+x))^(-x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
-x
---
3
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}}$$
Limit(((1 + x)/(5 + x))^((-x)/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 4}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3} + \frac{5}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 4}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{- \frac{x}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3} + \frac{5}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = \sqrt[3]{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = \sqrt[3]{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = \sqrt[3]{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = \sqrt[3]{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo