Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno + cuatro *x^ dos + nueve *x)/(x*(uno +x))
- (1 más 4 multiplicar por x al cuadrado más 9 multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por (1 más x))
- (uno más cuatro multiplicar por x en el grado dos más nueve multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por (uno más x))
- (1+4*x2+9*x)/(x*(1+x))
- 1+4*x2+9*x/x*1+x
- (1+4*x²+9*x)/(x*(1+x))
- (1+4*x en el grado 2+9*x)/(x*(1+x))
- (1+4x^2+9x)/(x(1+x))
- (1+4x2+9x)/(x(1+x))
- 1+4x2+9x/x1+x
- 1+4x^2+9x/x1+x
- (1+4*x^2+9*x) dividir por (x*(1+x))
-
Expresiones semejantes
- (1+4*x^2+9*x)/(x*(1-x))
- (1-4*x^2+9*x)/(x*(1+x))
- (1+4*x^2-9*x)/(x*(1+x))
Límite de la función (1+4*x^2+9*x)/(x*(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|1 + 4*x + 9*x|
lim |--------------|
x->oo\ x*(1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit((1 + 4*x^2 + 9*x)/((x*(1 + x))), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{9}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{9}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 9 u + 4}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 9 + 4}{1} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{9}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{9}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 9 u + 4}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 9 + 4}{1} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 9 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 9 x + 1}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 9 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 9}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 9}{2 x + 1}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 9 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 9 x + 1}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 9 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 9}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 9}{2 x + 1}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 7$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 7$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 7$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 7$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo