Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- (cuatro + tres *x)^ dos /(- dos + cinco *x)^ dos
- (4 más 3 multiplicar por x) al cuadrado dividir por ( menos 2 más 5 multiplicar por x) al cuadrado
- (cuatro más tres multiplicar por x) en el grado dos dividir por ( menos dos más cinco multiplicar por x) en el grado dos
- (4+3*x)2/(-2+5*x)2
- 4+3*x2/-2+5*x2
- (4+3*x)²/(-2+5*x)²
- (4+3*x) en el grado 2/(-2+5*x) en el grado 2
- (4+3x)^2/(-2+5x)^2
- (4+3x)2/(-2+5x)2
- 4+3x2/-2+5x2
- 4+3x^2/-2+5x^2
- (4+3*x)^2 dividir por (-2+5*x)^2
-
Expresiones semejantes
- (4+3*x)^2/(-2-5*x)^2
- (4-3*x)^2/(-2+5*x)^2
- (4+3*x)^2/(2+5*x)^2
Límite de la función (4+3*x)^2/(-2+5*x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| (4 + 3*x) |
lim |-----------|
x->oo| 2|
\(-2 + 5*x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
Limit((4 + 3*x)^2/(-2 + 5*x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}{25 - \frac{20}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}{25 - \frac{20}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{16 u^{2} + 24 u + 9}{4 u^{2} - 20 u + 25}\right)$$
=
$$\frac{16 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 24 + 9}{- 0 + 4 \cdot 0^{2} + 25} = \frac{9}{25}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{9}{25}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}{25 - \frac{20}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}{25 - \frac{20}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{16 u^{2} + 24 u + 9}{4 u^{2} - 20 u + 25}\right)$$
=
$$\frac{16 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 24 + 9}{- 0 + 4 \cdot 0^{2} + 25} = \frac{9}{25}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{9}{25}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 4\right)^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(5 x - 2\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x + 24}{50 x - 20}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(18 x + 24\right)}{\frac{d}{d x} \left(50 x - 20\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{9}{25}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{9}{25}$$
=
$$\frac{9}{25}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 4\right)^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(5 x - 2\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x + 24}{50 x - 20}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(18 x + 24\right)}{\frac{d}{d x} \left(50 x - 20\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{9}{25}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{9}{25}$$
=
$$\frac{9}{25}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{9}{25}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{49}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{49}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{9}{25}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{49}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{49}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x + 4\right)^{2}}{\left(5 x - 2\right)^{2}}\right) = \frac{9}{25}$$
Más detalles con x→-oo