Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to a^+}\left(- \tan{\left(a - x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to a^+}\left(- a^{2} + x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{\left(-1\right) \tan{\left(a - x \right)}}{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to a^+}\left(- \frac{\tan{\left(a - x \right)}}{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(- \tan{\left(a - x \right)}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(- a^{2} + x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(a - x \right)} + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(a - x \right)} + 1}{2 a}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(a - x \right)} + 1}{2 a}\right)$$
=
$$\frac{1}{2 a}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)