Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- ((- uno + cuatro *n^ dos)/(dos + cuatro *n^ dos))^n
- (( menos 1 más 4 multiplicar por n al cuadrado ) dividir por (2 más 4 multiplicar por n al cuadrado )) en el grado n
- (( menos uno más cuatro multiplicar por n en el grado dos) dividir por (dos más cuatro multiplicar por n en el grado dos)) en el grado n
- ((-1+4*n2)/(2+4*n2))n
- -1+4*n2/2+4*n2n
- ((-1+4*n²)/(2+4*n²))^n
- ((-1+4*n en el grado 2)/(2+4*n en el grado 2)) en el grado n
- ((-1+4n^2)/(2+4n^2))^n
- ((-1+4n2)/(2+4n2))n
- -1+4n2/2+4n2n
- -1+4n^2/2+4n^2^n
- ((-1+4*n^2) dividir por (2+4*n^2))^n
-
Expresiones semejantes
- ((-1-4*n^2)/(2+4*n^2))^n
- ((-1+4*n^2)/(2-4*n^2))^n
- ((1+4*n^2)/(2+4*n^2))^n
Límite de la función ((-1+4*n^2)/(2+4*n^2))^n
Solución
Ha introducido
[src]
n
/ 2\
|-1 + 4*n |
lim |---------|
n->oo| 2|
\ 2 + 4*n /
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
Limit(((-1 + 4*n^2)/(2 + 4*n^2))^n, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(4 n^{2} + 2\right) - 3}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{3}{4 n^{2} + 2} + \frac{4 n^{2} + 2}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 n^{2} + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{2} i}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{2} i}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}} = e^{\frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(4 n^{2} + 2\right) - 3}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{3}{4 n^{2} + 2} + \frac{4 n^{2} + 2}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 n^{2} + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{3}{4 n^{2} + 2}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{2} i}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{2} i}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}} = e^{\frac{- \frac{\sqrt{- 3 u - 2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{4 n^{2} - 1}{4 n^{2} + 2}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→-oo