Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de 1+1/x
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ cuatro +x^ dieciséis)/(x^ dieciséis + seis *x)
- ( menos 1 más x en el grado 4 más x en el grado 16) dividir por (x en el grado 16 más 6 multiplicar por x)
- ( menos uno más x en el grado cuatro más x en el grado dieciséis) dividir por (x en el grado dieciséis más seis multiplicar por x)
- (-1+x4+x16)/(x16+6*x)
- -1+x4+x16/x16+6*x
- (-1+x⁴+x^16)/(x^16+6*x)
- (-1+x^4+x^16)/(x^16+6x)
- (-1+x4+x16)/(x16+6x)
- -1+x4+x16/x16+6x
- -1+x^4+x^16/x^16+6x
- (-1+x^4+x^16) dividir por (x^16+6*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1+x^4+x^16)/(x^16-6*x)
- (-1+x^4-x^16)/(x^16+6*x)
- (1+x^4+x^16)/(x^16+6*x)
- (-1-x^4+x^16)/(x^16+6*x)
Límite de la función (-1+x^4+x^16)/(x^16+6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 16\
|-1 + x + x |
lim |-------------|
x->oo| 16 |
\ x + 6*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$
Limit((-1 + x^4 + x^16)/(x^16 + 6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^16:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{12}} - \frac{1}{x^{16}}}{1 + \frac{6}{x^{15}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{12}} - \frac{1}{x^{16}}}{1 + \frac{6}{x^{15}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u^{16} + u^{12} + 1}{6 u^{15} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{12} - 0^{16} + 1}{6 \cdot 0^{15} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^16:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{12}} - \frac{1}{x^{16}}}{1 + \frac{6}{x^{15}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{12}} - \frac{1}{x^{16}}}{1 + \frac{6}{x^{15}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u^{16} + u^{12} + 1}{6 u^{15} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{12} - 0^{16} + 1}{6 \cdot 0^{15} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{16} + x^{4} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{16} + 6 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + x^{4} - 1}{x \left(x^{15} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{16} + x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{16} + 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x^{15} + 4 x^{3}}{16 x^{15} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(16 x^{15} + 4 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(16 x^{15} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{240 x^{14} + 12 x^{2}}{240 x^{14}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(240 x^{14} + 12 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 240 x^{14}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3360 x^{13} + 24 x}{3360 x^{13}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3360 x^{13} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 3360 x^{13}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{43680 x^{12} + 24}{43680 x^{12}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(43680 x^{12} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 43680 x^{12}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{16} + x^{4} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{16} + 6 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + x^{4} - 1}{x \left(x^{15} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{16} + x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{16} + 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x^{15} + 4 x^{3}}{16 x^{15} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(16 x^{15} + 4 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(16 x^{15} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{240 x^{14} + 12 x^{2}}{240 x^{14}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(240 x^{14} + 12 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 240 x^{14}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3360 x^{13} + 24 x}{3360 x^{13}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3360 x^{13} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 3360 x^{13}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{43680 x^{12} + 24}{43680 x^{12}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(43680 x^{12} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 43680 x^{12}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{16} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{16} + 6 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo