Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 4^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{- x} x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} 4^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{- x} x}{\log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x}{\log{\left(4 \right)}}}{\frac{d}{d x} 4^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x}}{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x}}{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)