Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2^{x} - x^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2^{x} - x^{2}}{x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} - x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2^{x} \log{\left(2 \right)} - 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2^{x} \log{\left(2 \right)} - 2 x\right)$$
=
$$-4 + 4 \log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)