Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/x
-
Límite de sin(x)/x
-
Límite de x*log(x)
-
Límite de (-1+x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^ dos)^(uno /x)
- (1 más x al cuadrado ) en el grado (1 dividir por x)
- (uno más x en el grado dos) en el grado (uno dividir por x)
- (1+x2)(1/x)
- 1+x21/x
- (1+x²)^(1/x)
- (1+x en el grado 2) en el grado (1/x)
- 1+x^2^1/x
- (1+x^2)^(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- (1-x^2)^(1/x)
Límite de la función (1+x^2)^(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
________
x / 2
lim \/ 1 + x
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
Limit((1 + x^2)^(1/x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{u \sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{u \sqrt{\frac{1}{u}}}} = e^{- \frac{1}{u \sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{u \sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{u \sqrt{\frac{1}{u}}}} = e^{- \frac{1}{u \sqrt{\frac{1}{u}}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
________
x / 2
lim \/ 1 + x
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
1
$$1$$
= 1.0
________
x / 2
lim \/ 1 + x
x->0-
$$\lim_{x \to 0^-} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico