Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (ocho + seis *x)/(cinco + nueve *x)
- (8 más 6 multiplicar por x) dividir por (5 más 9 multiplicar por x)
- (ocho más seis multiplicar por x) dividir por (cinco más nueve multiplicar por x)
- (8+6x)/(5+9x)
- 8+6x/5+9x
- (8+6*x) dividir por (5+9*x)
-
Expresiones semejantes
- (8-6*x)/(5+9*x)
- (8+6*x)/(5-9*x)
Límite de la función (8+6*x)/(5+9*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/8 + 6*x\ lim |-------| x->oo\5 + 9*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$
Limit((8 + 6*x)/(5 + 9*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{8}{x}}{9 + \frac{5}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{8}{x}}{9 + \frac{5}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u + 6}{5 u + 9}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 8 + 6}{0 \cdot 5 + 9} = \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{8}{x}}{9 + \frac{5}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{8}{x}}{9 + \frac{5}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u + 6}{5 u + 9}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 8 + 6}{0 \cdot 5 + 9} = \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(3 x + 4\right)}{9 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(3 x + 4\right)}{9 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 8}{9 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo