Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(tres +x)^ tres
- x al cubo dividir por (3 más x) al cubo
- x en el grado tres dividir por (tres más x) en el grado tres
- x3/(3+x)3
- x3/3+x3
- x³/(3+x)³
- x en el grado 3/(3+x) en el grado 3
- x^3/3+x^3
- x^3 dividir por (3+x)^3
-
Expresiones semejantes
- x^3/(3-x)^3
Límite de la función x^3/(3+x)^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| x |
lim |--------|
x->oo| 3|
\(3 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
Limit(x^3/(3 + x)^3, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{27 u^{3} + 27 u^{2} + 9 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0 \cdot 9 + 27 \cdot 0^{2} + 27 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{27 u^{3} + 27 u^{2} + 9 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0 \cdot 9 + 27 \cdot 0^{2} + 27 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 3\right)^{3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 3\right)^{3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo