Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Límite de (x^2-2*x)/(-4+sqrt(x^2+6*x))
-
Límite de (-3+sqrt(7+x))/(-2+sqrt(2+x))
-
Límite de (-2*x^2+4*x^3+5*x)/(3*x^2+7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(- tres +x))^x
- ((2 más x) dividir por ( menos 3 más x)) en el grado x
- ((dos más x) dividir por ( menos tres más x)) en el grado x
- ((2+x)/(-3+x))x
- 2+x/-3+xx
- 2+x/-3+x^x
- ((2+x) dividir por (-3+x))^x
-
Expresiones semejantes
- ((2-x)/(-3+x))^x
- ((2+x)/(3+x))^x
- ((2+x)/(-3-x))^x
Límite de la función ((2+x)/(-3+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/2 + x \
lim |------|
x->oo\-3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x}$$
Limit(((2 + x)/(-3 + x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 5}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{5}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 5}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{5}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = e^{5}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = e^{5}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{x} = e^{5}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico