Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Límite de (-2+x^3+3*x^2)/(5+x^3-4*x^2)
-
Límite de (-49+x^2)/(sqrt(x)-sqrt(7))
-
Límite de (x^2-2*x)/(-4+sqrt(x^2+6*x))
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - dos *x)/(- cuatro +sqrt(x^ dos + seis *x))
- (x al cuadrado menos 2 multiplicar por x) dividir por ( menos 4 más raíz cuadrada de (x al cuadrado más 6 multiplicar por x))
- (x en el grado dos menos dos multiplicar por x) dividir por ( menos cuatro más raíz cuadrada de (x en el grado dos más seis multiplicar por x))
- (x^2-2*x)/(-4+√(x^2+6*x))
- (x2-2*x)/(-4+sqrt(x2+6*x))
- x2-2*x/-4+sqrtx2+6*x
- (x²-2*x)/(-4+sqrt(x²+6*x))
- (x en el grado 2-2*x)/(-4+sqrt(x en el grado 2+6*x))
- (x^2-2x)/(-4+sqrt(x^2+6x))
- (x2-2x)/(-4+sqrt(x2+6x))
- x2-2x/-4+sqrtx2+6x
- x^2-2x/-4+sqrtx^2+6x
- (x^2-2*x) dividir por (-4+sqrt(x^2+6*x))
-
Expresiones semejantes
- (x^2-2*x)/(-4+sqrt(x^2-6*x))
- (x^2+2*x)/(-4+sqrt(x^2+6*x))
- (x^2-2*x)/(4+sqrt(x^2+6*x))
- (x^2-2*x)/(-4-sqrt(x^2+6*x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(3+x^2+6*x)-(4+x^2+7*x)^(1/7)
- sqrt(x)/(1+x^2)
- sqrt(x*(3+x))-x
Límite de la función (x^2-2*x)/(-4+sqrt(x^2+6*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x - 2*x |
lim |------------------|
x->2+| __________|
| / 2 |
\-4 + \/ x + 6*x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
Limit((x^2 - 2*x)/(-4 + sqrt(x^2 + 6*x)), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) \left(- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right)}{\left(- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right) \left(\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right)}$$
=
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right)}{- x^{2} - 6 x + 16}$$
=
$$\frac{x \left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} + 4\right)}{x + 8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} + 4\right)}{x + 8}\right)$$
=
$$\frac{8}{5}$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) \left(- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right)}{\left(- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right) \left(\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right)}$$
=
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(- \sqrt{x^{2} + 6 x} - 4\right)}{- x^{2} - 6 x + 16}$$
=
$$\frac{x \left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} + 4\right)}{x + 8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} + 4\right)}{x + 8}\right)$$
=
$$\frac{8}{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x \left(x - 2\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(x - 2\right)}{\sqrt{x \left(x + 6\right)} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(x + 6\right) \left(2 x - 2\right)}{\sqrt{x \left(x + 6\right)} \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{2 x^{2}}{5} + \frac{4 x}{5} - \frac{6}{5}}{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{2 x^{2}}{5} + \frac{4 x}{5} - \frac{6}{5}}{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}\right)$$
=
$$\frac{8}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x \left(x - 2\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(x - 2\right)}{\sqrt{x \left(x + 6\right)} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x \left(x + 6\right)} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(x + 6\right) \left(2 x - 2\right)}{\sqrt{x \left(x + 6\right)} \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{2 x^{2}}{5} + \frac{4 x}{5} - \frac{6}{5}}{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{2 x^{2}}{5} + \frac{4 x}{5} - \frac{6}{5}}{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}\right)$$
=
$$\frac{8}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x - 2*x |
lim |------------------|
x->2+| __________|
| / 2 |
\-4 + \/ x + 6*x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
8/5
$$\frac{8}{5}$$
= 1.6
/ 2 \
| x - 2*x |
lim |------------------|
x->2-| __________|
| / 2 |
\-4 + \/ x + 6*x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right)$$
8/5
$$\frac{8}{5}$$
= 1.6
= 1.6
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \frac{8}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = - \frac{1}{-4 + \sqrt{7}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = - \frac{1}{-4 + \sqrt{7}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \frac{8}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = - \frac{1}{-4 + \sqrt{7}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = - \frac{1}{-4 + \sqrt{7}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x} - 4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico