Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x)*log(uno / dos +x/ dos)/(x*log(x/ dos))
- (1 más x) multiplicar por logaritmo de (1 dividir por 2 más x dividir por 2) dividir por (x multiplicar por logaritmo de (x dividir por 2))
- (uno más x) multiplicar por logaritmo de (uno dividir por dos más x dividir por dos) dividir por (x multiplicar por logaritmo de (x dividir por dos))
- (1+x)log(1/2+x/2)/(xlog(x/2))
- 1+xlog1/2+x/2/xlogx/2
- (1+x)*log(1 dividir por 2+x dividir por 2) dividir por (x*log(x dividir por 2))
-
Expresiones semejantes
- (1-x)*log(1/2+x/2)/(x*log(x/2))
- (1+x)*log(1/2-x/2)/(x*log(x/2))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(x))/log(x)
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- log(sin(x))*sin(x)
- Logaritmo log
- log(sin(x))/log(x)
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- log(sin(x))*sin(x)
Límite de la función (1+x)*log(1/2+x/2)/(x*log(x/2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1 x\\
|(1 + x)*log|- + -||
| \2 2/|
lim |------------------|
x->oo| /x\ |
| x*log|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Limit(((1 + x)*log(1/2 + x/2))/((x*log(x/2))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} - \frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)}}{\left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} - \frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)}}{\left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} - \frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)}}{\left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} - \frac{x \left(- 2 x - 2\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)}}{\left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo