Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (e-(uno +x)^(uno /x))/(- uno +e^x)
- (e menos (1 más x) en el grado (1 dividir por x)) dividir por ( menos 1 más e en el grado x)
- (e menos (uno más x) en el grado (uno dividir por x)) dividir por ( menos uno más e en el grado x)
- (e-(1+x)(1/x))/(-1+ex)
- e-1+x1/x/-1+ex
- e-1+x^1/x/-1+e^x
- (e-(1+x)^(1 dividir por x)) dividir por (-1+e^x)
-
Expresiones semejantes
- (e+(1+x)^(1/x))/(-1+e^x)
- (e-(1+x)^(1/x))/(1+e^x)
- (e-(1-x)^(1/x))/(-1+e^x)
- (e-(1+x)^(1/x))/(-1-e^x)
Límite de la función (e-(1+x)^(1/x))/(-1+e^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x _______\
|E - \/ 1 + x |
lim |-------------|
x->0+| x |
\ -1 + E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
Limit((E - (1 + x)^(1/x))/(-1 + E^x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- \frac{e}{x^{2} + x} + \frac{e \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- x}}{2 \left(\frac{1}{x^{2} + x} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- \frac{e}{x^{2} + x} + \frac{e \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- x}}{2 \left(\frac{1}{x^{2} + x} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\frac{e}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- \frac{e}{x^{2} + x} + \frac{e \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- x}}{2 \left(\frac{1}{x^{2} + x} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- \frac{e}{x^{2} + x} + \frac{e \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- x}}{2 \left(\frac{1}{x^{2} + x} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\frac{e}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x _______\
|E - \/ 1 + x |
lim |-------------|
x->0+| x |
\ -1 + E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
E - 2
$$\frac{e}{2}$$
= 1.35914091422952
/ x _______\
|E - \/ 1 + x |
lim |-------------|
x->0-| x |
\ -1 + E /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
E - 2
$$\frac{e}{2}$$
= 1.35914091422952
= 1.35914091422952
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{e}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{e}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = - e$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{e}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e - \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{e^{x} - 1}\right) = - e$$
Más detalles con x→-oo