Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Límite de (-1+(1+x)*(1+2*x)*(1+3*x))/x
-
Expresiones idénticas
- (- uno / cuatro +x^ dos)/(- uno / dos +x)
- ( menos 1 dividir por 4 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 1 dividir por 2 más x)
- ( menos uno dividir por cuatro más x en el grado dos) dividir por ( menos uno dividir por dos más x)
- (-1/4+x2)/(-1/2+x)
- -1/4+x2/-1/2+x
- (-1/4+x²)/(-1/2+x)
- (-1/4+x en el grado 2)/(-1/2+x)
- -1/4+x^2/-1/2+x
- (-1 dividir por 4+x^2) dividir por (-1 dividir por 2+x)
-
Expresiones semejantes
- (-1/4+x^2)/(-1/2-x)
- (1/4+x^2)/(-1/2+x)
- (-1/4+x^2)/(1/2+x)
- (-1/4-x^2)/(-1/2+x)
Límite de la función (-1/4+x^2)/(-1/2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 2\
|- - + x |
| 4 |
lim |--------|
x->1/2+\-1/2 + x/
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
Limit((-1/4 + x^2)/(-1/2 + x), x, 1/2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{1}{4} \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(x + \frac{1}{2}\right) = $$
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{1}{4} \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(x + \frac{1}{2}\right) = $$
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = $$
= 1
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(4 x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(4 x - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{4 x^{2} - 1}{2 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(4 x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(4 x - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{4 x^{2} - 1}{2 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 1 2\
|- - + x |
| 4 |
lim |--------|
x->1/2+\-1/2 + x/
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/ 1 2\
|- - + x |
| 4 |
lim |--------|
x->1/2-\-1/2 + x/
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Gráfico