Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- e^{\frac{1}{x}} + e^{\frac{2}{x}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) e^{\frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x e^{\frac{1}{x}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right)^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) e^{- \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) \left(x^{2} e^{\frac{2}{x}} - 2 x^{2} e^{\frac{1}{x}} + x^{2}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) \left(x^{2} e^{\frac{2}{x}} - 2 x^{2} e^{\frac{1}{x}} + x^{2}\right)\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)