Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (n/(uno +n))^n
- (n dividir por (1 más n)) en el grado n
- (n dividir por (uno más n)) en el grado n
- (n/(1+n))n
- n/1+nn
- n/1+n^n
- (n dividir por (1+n))^n
-
Expresiones semejantes
- (n/(1-n))^n
Límite de la función (n/(1+n))^n
Solución
Ha introducido
[src]
n
/ n \
lim |-----|
n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
Limit((n/(1 + n))^n, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico