Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x^{2}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cdot 2^{x^{2}} x \log{\left(2 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cdot 2^{x^{2}} x \log{\left(2 \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)