Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((dos + cinco *x)/(seis + cinco *x))^x
- ((2 más 5 multiplicar por x) dividir por (6 más 5 multiplicar por x)) en el grado x
- ((dos más cinco multiplicar por x) dividir por (seis más cinco multiplicar por x)) en el grado x
- ((2+5*x)/(6+5*x))x
- 2+5*x/6+5*xx
- ((2+5x)/(6+5x))^x
- ((2+5x)/(6+5x))x
- 2+5x/6+5xx
- 2+5x/6+5x^x
- ((2+5*x) dividir por (6+5*x))^x
-
Expresiones semejantes
- ((2-5*x)/(6+5*x))^x
- ((2+5*x)/(6-5*x))^x
Límite de la función ((2+5*x)/(6+5*x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/2 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\6 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x}$$
Limit(((2 + 5*x)/(6 + 5*x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 6\right) - 4}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{5 x + 6} + \frac{5 x + 6}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 6}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{5 x + 6}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5} - \frac{6}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = e^{- \frac{4}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 6\right) - 4}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{5 x + 6} + \frac{5 x + 6}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{5 x + 6}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 6}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{5 x + 6}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5} - \frac{6}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = e^{- \frac{4}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = \frac{7}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = \frac{7}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = \frac{7}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = \frac{7}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 6}\right)^{x} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Más detalles con x→-oo