Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (dos - nueve *x+ nueve *x^ dos)/(nueve +x^ dos + cuatro *x)
- (2 menos 9 multiplicar por x más 9 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (9 más x al cuadrado más 4 multiplicar por x)
- (dos menos nueve multiplicar por x más nueve multiplicar por x en el grado dos) dividir por (nueve más x en el grado dos más cuatro multiplicar por x)
- (2-9*x+9*x2)/(9+x2+4*x)
- 2-9*x+9*x2/9+x2+4*x
- (2-9*x+9*x²)/(9+x²+4*x)
- (2-9*x+9*x en el grado 2)/(9+x en el grado 2+4*x)
- (2-9x+9x^2)/(9+x^2+4x)
- (2-9x+9x2)/(9+x2+4x)
- 2-9x+9x2/9+x2+4x
- 2-9x+9x^2/9+x^2+4x
- (2-9*x+9*x^2) dividir por (9+x^2+4*x)
-
Expresiones semejantes
- (2-9*x+9*x^2)/(9-x^2+4*x)
- (2-9*x+9*x^2)/(9+x^2-4*x)
- (2-9*x-9*x^2)/(9+x^2+4*x)
- (2+9*x+9*x^2)/(9+x^2+4*x)
Límite de la función (2-9*x+9*x^2)/(9+x^2+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|2 - 9*x + 9*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 9 + x + 4*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
Limit((2 - 9*x + 9*x^2)/(9 + x^2 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2} - 9 u + 9}{9 u^{2} + 4 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9}{0 \cdot 4 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2} - 9 u + 9}{9 u^{2} + 4 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9}{0 \cdot 4 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 9$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} - 9 x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} - 9 x + 2}{x^{2} + 4 x + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} - 9 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x - 9}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x - 9}{2 x + 4}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} - 9 x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} - 9 x + 2}{x^{2} + 4 x + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} - 9 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x - 9}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x - 9}{2 x + 4}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 9$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(2 - 9 x\right)}{4 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 9$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico