Sr Examen
Descomponer y^4+y^2+1 al cuadrado
Solución
Factorización
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/ ___\ / ___\ / ___\ / ___\ | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | |x + - + -------|*|x + - - -------|*|x + - - + -------|*|x + - - - -------| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
$$\left(x + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)$$
(((x + 1/2 + i*sqrt(3)/2)*(x + 1/2 - i*sqrt(3)/2))*(x - 1/2 + i*sqrt(3)/2))*(x - 1/2 - i*sqrt(3)/2)
Expresión del cuadrado perfecto
Expresemos el cuadrado perfecto del trinomio cuadrático
$$\left(y^{4} + y^{2}\right) + 1$$
Para eso usemos la fórmula
$$a y^{4} + b y^{2} + c = a \left(m + y^{2}\right)^{2} + n$$
donde
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
En nuestro caso
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
Entonces
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = \frac{3}{4}$$
Pues,
$$\left(y^{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$
$$\left(y^{4} + y^{2}\right) + 1$$
Para eso usemos la fórmula
$$a y^{4} + b y^{2} + c = a \left(m + y^{2}\right)^{2} + n$$
donde
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
En nuestro caso
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
Entonces
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = \frac{3}{4}$$
Pues,
$$\left(y^{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$
Unión de expresiones racionales
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2 / 2\ 1 + y *\1 + y /
$$y^{2} \left(y^{2} + 1\right) + 1$$
1 + y^2*(1 + y^2)
Combinatoria
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/ 2\ / 2 \ \1 + y + y /*\1 + y - y/
$$\left(y^{2} - y + 1\right) \left(y^{2} + y + 1\right)$$
(1 + y + y^2)*(1 + y^2 - y)