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Suma de la serie/ ((-1)^(n))*(4x)^(2n)

Suma de la serie ((-1)^(n))*(4x)^(2n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                
 ___                
 \  `               
  \       n      2*n
  /   (-1) *(4*x)   
 /__,               
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^{n} \left(4 x\right)^{2 n}$$ 
Sum((-1)^n*(4*x)^(2*n), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\left(-1\right)^{n} \left(4 x\right)^{2 n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(-1\right)^{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 2$$
,
$$c = 4$$
entonces
$$R^{2} = \frac{\lim_{n \to \infty} 1}{4}$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{2} = \frac{1}{4}$$
$$R = 0.5$$
Respuesta [src] 
/          1                   | 2|    
|      ---------        for 16*|x | < 1
|              2                       
|      1 + 16*x                        
|                                      
|  oo                                  
< ___                                  
| \  `                                 
|  \       n  2*n  2*n                 
|  /   (-1) *4   *x        otherwise   
| /__,                                 
|n = 0                                 
\
$$\begin{cases} \frac{1}{16 x^{2} + 1} & \text{for}\: 16 \left|{x^{2}}\right| < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^{n} 4^{2 n} x^{2 n} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((1/(1 + 16*x^2), 16*|x^2| < 1), (Sum((-1)^n*4^(2*n)*x^(2*n), (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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