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Suma de la serie/ (lnx-1)/(ln(x+1)-1)

Suma de la serie (lnx-1)/(ln(x+1)-1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                
 ___                
 \  `               
  \     log(x) - 1  
   )  --------------
  /   log(x + 1) - 1
 /__,               
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x + 1 \right)} - 1}$$ 
Sum((log(x) - 1)/(log(x + 1) - 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x + 1 \right)} - 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x + 1 \right)} - 1}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} 1$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
oo*(-1 + log(x))
----------------
-1 + log(1 + x)
$$\frac{\infty \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\log{\left(x + 1 \right)} - 1}$$ 
oo*(-1 + log(x))/(-1 + log(1 + x))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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