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Suma de la serie/ (-1)^n/2^n*x^(2*n)

Suma de la serie (-1)^n/2^n*x^(2*n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo            
____            
\   `           
 \        n     
  \   (-1)   2*n
   )  -----*x   
  /      n      
 /      2       
/___,           
n = 0
∑n=0∞x2n(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n} \frac{\left(-1\right)^{n}}{2^{n}} 
Sum(((-1)^n/2^n)*x^(2*n), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
x2n(−1)n2nx^{2 n} \frac{\left(-1\right)^{n}}{2^{n}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(−1)n2−na_{n} = \left(-1\right)^{n} 2^{- n}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=2d = 2
,
c=1c = 1
entonces
R2=lim⁡n→∞(2−n2n+1)R^{2} = \lim_{n \to \infty}\left(2^{- n} 2^{n + 1}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R2=2R^{2} = 2
R=1.4142135623731R = 1.4142135623731
Respuesta [src] 
/                          | 2|    
|         1                |x |    
|       ------         for ---- < 1
|            2              2      
|           x                      
|       1 + --                     
|           2                      
<                                  
|  oo                              
| ___                              
| \  `                             
|  \       n  -n  2*n              
|  /   (-1) *2  *x      otherwise  
| /__,                             
\n = 0
{1x22+1for ∣x2∣2<1∑n=0∞(−1)n2−nx2notherwise\begin{cases} \frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 1} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{2} < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^{n} 2^{- n} x^{2 n} & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((1/(1 + x^2/2), |x^2|/2 < 1), (Sum((-1)^n*2^(-n)*x^(2*n), (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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