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Suma de la serie/ n*x^n/(n+2)

Suma de la serie n*x^n/(n+2)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo       
____       
\   `      
 \        n
  \    n*x 
  /   -----
 /    n + 2
/___,      
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^{n}}{n + 2}$$ 
Sum((n*x^n)/(n + 2), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{n x^{n}}{n + 2}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n}{n + 2}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 1$$
$$R = 1$$
Respuesta [src] 
/  /-6 + 3*x   6*log(1 - x)\             
|x*|-------- + ------------|             
|  | 3    2          3     |             
|  \x  - x          x      /             
|---------------------------  for |x| < 1
|             3                          
|                                        
|          oo                            
<        ____                            
|        \   `                           
|         \        n                     
|          \    n*x                      
|          /   -----           otherwise 
|         /    2 + n                     
|        /___,                           
|        n = 0                           
\
$$\begin{cases} \frac{x \left(\frac{3 x - 6}{x^{3} - x^{2}} + \frac{6 \log{\left(1 - x \right)}}{x^{3}}\right)}{3} & \text{for}\: \left|{x}\right| < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^{n}}{n + 2} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((x*((-6 + 3*x)/(x^3 - x^2) + 6*log(1 - x)/x^3)/3, |x| < 1), (Sum(n*x^n/(2 + n), (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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