Sr Examen

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Suma de la serie ln(1+1/x)-ln(1+1/(x+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                               
 ___                               
 \  `                              
  \   /   /    1\      /      1  \\
   )  |log|1 + -| - log|1 + -----||
  /   \   \    x/      \    x + 1//
 /__,                              
n = 1                              
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \log{\left(1 + \frac{1}{x + 1} \right)}\right)$$
Sum(log(1 + 1/x) - log(1 + 1/(x + 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \log{\left(1 + \frac{1}{x + 1} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \log{\left(1 + \frac{1}{x + 1} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} 1$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src]
   /     /      1  \      /    1\\
oo*|- log|1 + -----| + log|1 + -||
   \     \    1 + x/      \    x//
$$\infty \left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \log{\left(1 + \frac{1}{x + 1} \right)}\right)$$
oo*(-log(1 + 1/(1 + x)) + log(1 + 1/x))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie