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Suma de la serie/ (((n+3)/4n)^n)x^n

Suma de la serie (((n+3)/4n)^n)x^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo               
____               
\   `              
 \             n   
  \   /n + 3  \   n
  /   |-----*n| *x 
 /    \  4    /    
/___,              
n = 1
∑n=1∞xn(nn+34)n\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \left(n \frac{n + 3}{4}\right)^{n} 
Sum((((n + 3)/4)*n)^n*x^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
xn(nn+34)nx^{n} \left(n \frac{n + 3}{4}\right)^{n}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(n(n4+34))na_{n} = \left(n \left(\frac{n}{4} + \frac{3}{4}\right)\right)^{n}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=1d = 1
,
c=1c = 1
entonces
R=lim⁡n→∞((n(n4+34))n((n4+1)(n+1))−n−1)R = \lim_{n \to \infty}\left(\left(n \left(\frac{n}{4} + \frac{3}{4}\right)\right)^{n} \left(\left(\frac{n}{4} + 1\right) \left(n + 1\right)\right)^{- n - 1}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=0R^{1} = 0
R=0R = 0
Respuesta [src] 
  oo                 
____                 
\   `                
 \                  n
  \    n /  /3   n\\ 
  /   x *|n*|- + -|| 
 /       \  \4   4// 
/___,                
n = 1
∑n=1∞xn(n(n4+34))n\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \left(n \left(\frac{n}{4} + \frac{3}{4}\right)\right)^{n} 
Sum(x^n*(n*(3/4 + n/4))^n, (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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