Se da una serie:
$$x^{n} \left(n \frac{n + 3}{4}\right)^{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(n \left(\frac{n}{4} + \frac{3}{4}\right)\right)^{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\left(n \left(\frac{n}{4} + \frac{3}{4}\right)\right)^{n} \left(\left(\frac{n}{4} + 1\right) \left(n + 1\right)\right)^{- n - 1}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = 0$$
$$R = 0$$